時間數列 (一) – 基本理論

一般迴歸分析(Regression)是假設資料誤差是完全隨機的，但現實社會中的現象，卻往往不是如此，例如股價，它的波動會受到前一日或更前幾天的影響，因此，要建構這類的模型，我們就可以應用時間數列(Time Series)，來分析或預測未來的走勢。

在談到時間數列前，我們最好先了解迴歸模型，以簡單線性迴歸為例:

y=a+bx+ε

其中ε為誤差, 假設他服從常態分數，平均數為0，變異數為σ²，且ε_i及ε_j無關聯

之後我們用誤差的最小平方法(Least Square)，求出a及b，進而得到

1. 總平方和(SST) = 殘差平方和(SSE) + 迴歸平方和(SSR)
   
2. R² = SSR / SST，R²是檢定x與y的相關係數
   
3. 檢定一元迴歸可用自由度=n-2的t分配，多元迴歸則用F分配
   

   F = (SSR / (k -1)) / (SSE / (n – k))
   

   其中k-1為自變數個數
   

時間數列與迴歸分析不同點就是假設誤差不是完全隨機的, 而是自我相關的，即前期的誤差會影響後期的誤差

ε_t = ρε_{t -1} + a_t

其中ρ絕對值<1，a_t稱為干擾項(Disturbance Term)，服從常態分數，平均數為0，變異數為σ²

1. 檢定ρ是否為0，一階(誤差只與前一期有關)可用Dubin-Watson統計量檢定，多階可用ARIMA統計量。
   
2. ARIMA： Auto Regression Integrated Moving Average，為Box/Jenkins提出
   

此外，若考慮不是σ²固定常數，也就是異質變異數(Heteroscendasticity)，可用加權最小平方法處理，這就是ARCH或GARCH模型。

註:此文主要是節錄自林茂文先生所注之時間數列之分析與預測一書。